Мягкое и жёсткое ограничение сигнала в транзисторных усилителях

Наверное, каждый, кто вслепую сравнивал звучание перегруженного лампового усилителя с перегруженным транзисторным, замечал одно и то же. Лампа, уходя в клиппинг, продолжает звучать неприятно, но терпимо. Транзистор режет. Резко, хирургически, без всякого предупреждения. Это не субъективный миф аудиофильской культуры, а измеримый физический эффект, который уходит корнями в принципиальное различие передаточных характеристик биполярного и полевого транзисторов. И когда туда же добавляется MOSFET, картина становится ещё интереснее: полевой транзистор ограничивает сигнал мягче биполярного, и причина этого лежит в математике квадратичного закона.

Экспоненциальная природа биполярного транзистора как источник резкого ограничения

Передаточная характеристика биполярного транзистора описывается уравнением Шокли:

Iс = Is · (exp(Vбэ / Vт) - 1)

где Is является током насыщения (порядка 10^-14 - 10^-15 А для кремниевых транзисторов), а Vт является тепловым напряжением, равным kT/q и составляющим около 26 мВ при комнатной температуре 300 К.

Экспонента растёт чрезвычайно быстро. При изменении Vбэ всего на 60 мВ ток коллектора увеличивается в 10 раз. Это означает, что крутизна передаточной характеристики, то есть транскондуктанс gm, сама по себе нелинейна и определяется как:

gm = dIс/dVбэ = Iс / Vт

Чем больше мгновенный ток коллектора, тем больше gm. При увеличении амплитуды входного сигнала транзистор усиливает положительные полупериоды сильнее, чем отрицательные: усиление асимметрично, и кривая передаточной функции изогнута круто и несимметрично.

Разложение экспоненты в ряд Тейлора вокруг рабочей точки Iкq при малом сигнале vбэ даёт:

Iс ≈ Iкq + gm·vбэ + (gm/2Vт)·vбэ² + (gm/6Vт²)·vбэ³ + ...

Коэффициенты этого ряда не убывают быстро. Более того, у экспоненты все производные ненулевые, и ряд бесконечен. Это означает, что при росте амплитуды сигнала в спектре появляются гармоники всех порядков: 2-я, 3-я, 4-я, 5-я и далее. Причём коэффициент при n-й гармонике убывает только как 1/(n!·Vт^(n-1)), что для Vт = 26 мВ означает весьма медленное убывание. Спектр искажений биполярного транзистора богат и плотен.

Квадратичный закон MOSFET и его принципиальное отличие от экспоненты

MOSFET в режиме насыщения (при Vдс >= Vзс - Vпор) описывается принципиально другим уравнением:

Iд = (µn · Cox · W) / (2L) · (Vзс - Vпор)²

или в сокращённой форме через параметр K = µn·Cox·W / (2L):

Iд = K · (Vзс - Vпор)²

Это точная парабола. Не приближение, не упрощение, а фундаментальный закон, следующий из физики дрейфа носителей в инверсионном канале под затвором. Разложение квадратного закона в ряд Тейлора вокруг рабочей точки при надпороговом напряжении Vов = Vзсq - Vпор и малом сигнале vзс:

Iд(Vзс) = K · (Vов + vзс)² = K·Vов² + 2K·Vов·vзс + K·vзс²

Здесь первый член является постоянным током покоя, второй является линейным усилением с транскондуктансом gm = 2K·Vов, а третий является единственным нелинейным членом. Производные третьего и всех более высоких порядков от квадратичной функции равны нулю. Это означает, что идеальный MOSFET порождает только вторую гармонику, и никаких более высоких гармоник в принципе не существует.

Это фундаментальное отличие от биполярного транзистора, у которого ряд бесконечен.

Как квадратичный закон формирует спектр при ограничении сигнала

Посмотрим на то, что происходит при мягком входе в ограничение. У биполярного транзистора, когда сигнал приближается к границе линейного режима, нелинейность экспоненты уже при небольшом превышении рабочего диапазона начинает генерировать заметные гармоники всех порядков. Кривая Iс(Vбэ) изогнута очень круто, особенно на подъёме тока. "Плечи" этой кривой загибаются резко. Как только сигнал выходит за область допустимого, характеристика сразу поставляет в спектр густой набор гармоник: 2-ю, 3-ю, 5-ю, 7-ю одновременно.

У MOSFET всё иначе. Квадратичная парабола изогнута значительно более плавно. Производная второго порядка (кривизна) от K·(Vзс - Vпор)² является постоянной:

d²Iд / dVзс² = 2K

Она не зависит от мгновенного значения тока. Это означает, что нелинейность MOSFET одинакова при любом токе в диапазоне квадратичного режима, то есть характеристика равномерно изогнута по всей своей длине, без резкого "излома" у края рабочего диапазона.

Когда MOSFET начинает уходить в ограничение, он не "обрывается" экспоненциальным скачком, а плавно выходит из квадратичного режима в линейный (область насыщения переходит в область линейного сопротивления). Переход этот описывается параболой, плавно соединяющейся с горизонтальной площадкой. Форма ограниченного сигнала на выходе поэтому скруглена, а не срезана. Отсюда и происходит термин "мягкое ограничение" (soft clipping).

Спектр клиппинга: что говорит математика разложения в ряд Фурье

Жёсткое ограничение идеальным прямоугольным отсечением синусоиды на уровне ±Uнас даёт хорошо известный спектр. При подстановке ограниченной синусоиды в формулу коэффициентов ряда Фурье получаются ненулевые члены только для нечётных гармоник:

Uвых(t) = (4·Uнас/π) · [sin(ωt) + (1/3)·sin(3ωt) + (1/5)·sin(5ωt) + (1/7)·sin(7ωt) + ...]

Амплитуда n-й нечётной гармоники убывает как 1/n. Это медленное убывание. При клиппинге на уровне 10 дБ выше основного тона третья гармоника составляет около 1/3 от уровня второй, пятая около 1/5 и так далее. Все они слышимы.

Именно такую картину и порождает биполярный транзистор при перегрузке: экспонента уходит в насыщение резко, и форма выходного тока близка к прямоугольнику с загнутыми углами, что математически означает богатый хвост нечётных гармоник.

Квадратичная характеристика MOSFET при ограничении создаёт принципиально иную форму ограничения. Вместо прямоугольника получается парабола, "срезающая" вершины синусоиды плавно. Если описать форму ограниченного сигнала функцией, где вне области линейного усиления вместо постоянного значения стоит парабола, разложение даст спектр, в котором резко преобладает вторая гармоника, третья значительно ниже, а четвёртая и выше практически отсутствуют. Пологое скругление вершины математически соответствует доминированию низкого порядка спектра.

Сравнение численно выглядит так. Для биполярного транзистора при перегрузке 6 дБ типичное соотношение гармоник в спектре: 2-я на уровне -20 дБ относительно основного тона, 3-я на -30 дБ, 5-я на -45 дБ, 7-я на -52 дБ. Хвост длинный. Для MOSFET с квадратичной характеристикой при той же перегрузке: 2-я на -18 дБ, 3-я на -40 дБ, более высокие ниже -55 дБ. Хвост обрывается значительно круче.

Почему вторая гармоника субъективно мягче нечётных гармоник высокого порядка

Этот вопрос напрямую связан с тем, как работает слуховая система. Вторая гармоника 2f лежит ровно на октаву выше основного тона. Октава является базовым музыкальным интервалом, и практически все акустические инструменты естественным образом содержат вторую гармонику в своём обертоновом спектре. Ухо воспринимает её как знакомое, "правильное" обогащение тембра.

Нечётные гармоники высокого порядка, 5-я (5f), 7-я (7f), 9-я (9f), не укладываются в стандартные музыкальные интервалы по равномерно темперированной шкале. Пятая гармоника от 1000 Гц лежит на 5000 Гц. Это не октава, не квинта, не терция. Это диссонирующий призвук, не связанный с тоном фундаментально. На слух он воспринимается как "металлический" призвук, резкость, "стекло" на верхах при перегрузке.

MOSFET при клиппинге производит главным образом вторую гармонику. Слух принимает её как допустимое обогащение. Биполярный транзистор производит разветвлённый спектр нечётных гармоник, и ухо их не прощает.

Реальная поправка к квадратичному закону и её влияние на спектр

Справедливости ради, идеально квадратичным MOSFET остаётся только в рамках простейшей длинноканальной модели. В реальных мощных транзисторах для УМЗЧ действуют дополнительные физические эффекты.

Первый из них, модуляция длины канала, вводит поправочный множитель (1 + λ·Vдс):

Iд = K · (Vзс - Vпор)² · (1 + λ·Vдс)

где λ является параметром модуляции длины канала, обычно 0,01-0,05 В^-1. Этот член добавляет слабую линейную зависимость тока стока от Vдс, аналогичную эффекту Эрли в BJT.

Второй эффект, деградация подвижности носителей при высоких полях (velocity saturation), становится значимым для короткоканальных MOSFET при высоких Vзс-Vпор. В первом приближении это описывается как:

µeff = µ0 / (1 + θ·(Vзс - Vпор))

где θ является коэффициентом деградации подвижности. Подстановка в исходное уравнение даёт:

Iд = K·µeff · (Vзс - Vпор)²

После разложения в ряд при малом θ получаются дополнительные члены 3-го и выше порядков. Чем выше θ (чем короче канал), тем сильнее квадратичный закон "засоряется" высшими членами, и тем ближе реальный спектр искажений MOSFET становится к биполярному.

Мощные аудиофильские MOSFET (2SK1058/2SJ162, IRF240 и аналоги) проектируются с достаточно длинным каналом именно для того, чтобы квадратичный закон оставался хорошим приближением в рабочем диапазоне токов. Это намеренное конструктивное решение, а не случайное свойство.

Почему именно спектр определяет субъективное качество ограничения

Существует устойчивый предрассудок, что искажения нужно просто минимизировать. Правда сложнее: при перегрузке важен не только уровень искажений, но и форма их спектра. Усилитель, уходящий в клиппинг и генерирующий только вторую гармонику на уровне -20 дБ, звучит при умеренной перегрузке значительно приятнее, чем усилитель, генерирующий набор нечётных гармоник до 7-го порядка на суммарном уровне -25 дБ.

Именно этим объясняется поведение усилителей на мощных полевых транзисторах при перегрузке. При входе в ограничение они не "режут" сигнал, а округляют его, давая хорошо слышимое, но терпимое искажение, которое слухом воспринимается как компрессия, а не как резкий срыв. Биполярный транзистор срывается быстрее и грубее, потому что у него нет квадратичной подушки: экспонента разгоняется, и при малейшем выходе за рабочий диапазон транзистор немедленно поставляет в спектр длинный ряд диссонирующих гармоник.

Квадратичный закон MOSFET это не просто удобное математическое описание. Это физический механизм, встроенный в само устройство прибора, который определяет, каким будет звук в момент, когда мощности уже немного не хватает. И в этом смысле MOSFET выигрывает у биполярного транзистора не благодаря лучшим параметрам при нормальной работе, а благодаря принципиально другому поведению именно там, где начинаются пределы возможного.