Слабый сигнал тонет в ступеньках АЦП и спасает его подмешанный шум

Приёмник прямого преобразования с аналого-цифровым преобразователем на входе подкупает чистотой идеи. Антенна, фильтр, преобразователь, и дальше вся обработка в цифре. На сильном сигнале такой приёмник великолепен. Но когда из эфира приходит слабый сигнал у самого порога чувствительности, начинаются странности. Сигнал звучит зернисто, в нём появляются призвуки, которых нет в эфире, а попытка вытащить станцию из шума натыкается на дискретные ступеньки. И что особенно неожиданно, подмешивание небольшого шума на вход иногда не ухудшает, а улучшает разборчивость слабого сигнала.

Причина в природе квантования. Преобразователь представляет непрерывный сигнал конечным набором дискретных уровней, и слабый сигнал, едва шевелящий младшие разряды, описывается слишком грубо. Возникает шум квантования, а при определённых условиях вместо равномерного шума появляются дискретные паразитные составляющие, искажающие сигнал предсказуемым и оттого заметным образом. Разберём, откуда берётся шум квантования, почему слабый сигнал страдает сильнее всего, как разрядность связана с динамическим диапазоном и каким образом подмешанный шум превращает грубое квантование в почти аналоговую плавность.

Откуда берётся шум квантования и чему он равен

Преобразователь делит весь диапазон входных напряжений на ступеньки, каждой из которых соответствует один цифровой код. Высота одной ступеньки это младший значащий разряд, наименьшее различимое приращение. Любое входное напряжение округляется до ближайшего уровня, и разница между истинным значением и округлённым это ошибка квантования. Для сигнала, гуляющего по многим уровням, эта ошибка ведёт себя как случайный шум с равномерным распределением в пределах одной ступеньки.

Действующее значение такого шума выводится из равномерного распределения и равно высоте ступеньки, делённой на корень из двенадцати:

U_кв = LSB / sqrt(12)

Отсюда выводится знаменитое соотношение для идеального преобразователя, связывающее отношение сигнал шум с числом разрядов. Если сигнал занимает весь диапазон, то отношение сигнал шум в децибелах равно:

SNR = 6.02 * N + 1.76

где N это число разрядов. Каждый дополнительный разряд добавляет около шести децибел динамического диапазона. Двенадцатиразрядный преобразователь даёт теоретические семьдесят четыре децибела, шестнадцатиразрядный около девяноста восьми. Это потолок, к которому стремится реальный прибор и которого не достигает из-за собственных шумов и нелинейностей.

Важно, что формула выведена в предположении, что сигнал занимает весь диапазон преобразователя. Как только сигнал становится слабым и шевелит лишь несколько младших разрядов, картина резко портится, и именно здесь кроется проблема слабых сигналов.

Почему слабый сигнал страдает сильнее сильного

Шум квантования по своему абсолютному значению почти не зависит от уровня сигнала, он привязан к высоте ступеньки, а та постоянна по всему диапазону. Поэтому отношение полезного сигнала к шуму квантования прямо зависит от того, какую часть диапазона занимает сигнал. Сильный сигнал, размахивающийся почти на весь диапазон, имеет огромное превышение над шумом ступеньки. Слабый сигнал, занимающий лишь несколько младших разрядов, оказывается лишь в несколько раз выше ступеньки, и его относительная зернистость огромна.

В пределе, если сигнал слабее половины одной ступеньки, он вообще не меняет выходной код, преобразователь его попросту не замечает. Чуть выше этого порога сигнал описывается двумя-тремя уровнями, и его форма передаётся отвратительно грубо, со ступенчатыми изломами вместо плавной синусоиды. Информация теряется, и эта потеря воспринимается как шум, хотя в эфире никакого шума не было.

Хуже того, при слабом сигнале ошибка квантования перестаёт быть случайной. Когда сигнал гуляет по многим уровням беспорядочно, ошибка размазывается в равномерный шум. Но когда сигнал слаб и периодичен, особенно если его частота находится в простом соотношении с частотой дискретизации, ошибка квантования становится коррелированной с сигналом и собирается в дискретные паразитные составляющие на гармониках. Эти составляющие, в отличие от ровного шума, торчат над уровнем шума и хорошо слышны, оттого и резкие призвуки на слабом сигнале. Спектральная чистота приёмника при этом характеризуется отдельным параметром, динамическим диапазоном, свободным от паразитных составляющих, который для слабых сигналов важнее простого отношения сигнал шум.

Динамический диапазон, разрядность и обработка

Связь разрядности с динамическим диапазоном кажется прямой: больше разрядов, ниже ступенька, меньше шум квантования. Но число разрядов это не вся правда. Реальный динамический диапазон ограничен ещё и собственными шумами входных цепей, и нелинейностями самого преобразователя, и паразитными составляющими, которые могут оказаться опаснее шума, потому что они выше по амплитуде и не зависят от ширины полосы.

Принципиально важно, что динамический диапазон системы должен превышать отношение сигнал шум входного сигнала. Если диапазон системы ниже, входные данные искажаются уже на оцифровке, и никакая последующая обработка их не восстановит. Поэтому для приёма слабых сигналов на фоне сильных помех гонятся за большим числом разрядов и низкими паразитными составляющими, целясь в свободный от паразитов диапазон выше ста децибел и в блокирующий диапазон выше ста пятнадцати.

Есть и второй рычаг помимо разрядности, это выигрыш обработки. Если сигнал узкополосный, а оцифровка ведётся в широкой полосе, то последующее сужение полосы цифровым фильтром или прореживанием отсчётов собирает весь полезный сигнал в узкую полосу, а шум квантования, размазанный по всей широкой полосе, в узкой полосе оказывается лишь малой долей. Выигрыш обработки добавляет эффективные разряды задаром, без смены преобразователя. Сужение полосы вдвое поднимает отношение сигнал шум примерно на три децибела, что эквивалентно половине дополнительного разряда. Поэтому узкополосный приём слабого сигнала в SDR куда чище широкополосного, и грамотная цифровая фильтрация частично возмещает скромную разрядность.

Дизеринг, или почему подмешанный шум улучшает слабый сигнал

Самое контринтуитивное лекарство от грубости квантования это намеренное подмешивание шума на вход, называемое дизерингом. Звучит парадоксально: зачем добавлять шум, чтобы улучшить сигнал. Но механизм строгий и красивый. Проблема слабого сигнала в том, что его ошибка квантования коррелирована с ним и собирается в дискретные паразитные составляющие. Подмешанный случайный шум разрывает эту корреляцию.

Когда к слабому сигналу добавлен шум амплитудой около половины ступеньки, сигнал начинает случайным образом пересекать границы соседних уровней даже там, где сам по себе он застрял бы на одном коде. В среднем по многим отсчётам доля времени, проведённая на каждом уровне, точно отражает истинное положение сигнала между уровнями. Усреднение, которое всё равно выполняет последующая узкополосная обработка, восстанавливает плавную форму сигнала с разрешением тоньше одной ступеньки. Дискретные паразитные составляющие при этом рассыпаются в равномерный шумовой фон, который воспринимается куда мягче торчащих призвуков.

Цена дизеринга в том, что он поднимает средний уровень шума. Поэтому амплитуду подмешанного шума выбирают аккуратно. Практически достаточно шума действующим значением около половины ступеньки, или размахом примерно от трети до одной ступеньки. Дальнейшее увеличение бессмысленно: при шуме свыше одной ступеньки отношение сигнал шум падает пропорционально добавленному шуму без выигрыша в линеаризации. Замечательно, что в реальном приёмнике дизеринг часто уже встроен природой: собственный шум антенны и входных цепей, всегда присутствующий поверх сигнала, сам играет роль дизера и избавляет от необходимости добавлять его искусственно. Именно поэтому полностью бесшумный тракт парадоксально хуже передал бы слабый периодический сигнал, чем тракт с небольшим естественным шумом.

Числовая прикидка порога и выигрыша обработки

Сведём к числам. Возьмём шестнадцатиразрядный преобразователь с диапазоном входа два вольта. Высота одной ступеньки равна диапазону, делённому на число уровней:

LSB = 2 / 2^16 = 2 / 65536 = 30.5 микровольта

Действующее значение шума квантования тогда

U_кв = LSB / sqrt(12) = 30.5 / 3.46 = 8.8 микровольта

Сигнал, чтобы хоть как-то быть замеченным, должен превышать половину ступеньки, около пятнадцати микровольт. Всё, что слабее, для преобразователя не существует без дизеринга. Теперь применим выигрыш обработки. Пусть оцифровка идёт в полосе два мегагерца, а полезный сигнал занимает полосу пятьсот герц. Выигрыш обработки равен отношению полос в децибелах:

G = 10 log(2e6 / 500) = 10 log(4000) = 36 децибел

Тридцать шесть децибел выигрыша эквивалентны примерно шести дополнительным эффективным разрядам, поскольку каждый разряд это около шести децибел. То есть узкополосной обработкой шестнадцатиразрядный преобразователь по чистоте узкого участка ведёт себя как двадцатидвухразрядный. Слабый сигнал, который без обработки тонул в ступеньках, после сужения полосы и при наличии естественного дизера всплывает над шумом квантования и становится разборчивым. Вот почему сочетание достаточной разрядности, естественного шума и узкополосной цифровой фильтрации позволяет SDR принимать сигналы, на первый взгляд лежащие ниже его разрешающей способности.

Как распознать, что слабый сигнал страдает именно от квантования

На практике зернистость слабого сигнала легко спутать с другими бедами тракта, с перегрузкой, с фазовым шумом гетеродина, с помехами по питанию. Отличить именно квантовочную природу помогает несколько примет, по которым ставят диагноз. Вот они:

1. призвуки исчезают или превращаются в ровный шум при добавлении небольшого шума на вход, что прямо указывает на дизеринг и корреляцию ошибки;
2. паразитные составляющие стоят на гармониках сигнала или на частотах, кратных дроби от частоты дискретизации, а не на сетевых или гетеродинных частотах;
3. зернистость растёт по мере ослабления сигнала и пропадает, стоит поднять его уровень ближе к полному диапазону;
4. сужение полосы цифровым фильтром заметно очищает сигнал, поскольку собирает выигрыш обработки против размазанного шума квантования;
5. эффект не зависит от температуры и от прогрева, в отличие от дрейфовых и шумовых механизмов аналоговой части.

Эта диагностика экономит силы. Если зернистость уходит от подмешанного шума и от сужения полосы, причина в квантовании, и лечится она обработкой, а не заменой гетеродина или борьбой с наводками. Если же призвуки привязаны к сетевой частоте или к гетеродину и не реагируют на дизер, искать надо в аналоговой части, и преобразователь тут ни при чём. Умение быстро отделить квантование от аналоговых бед экономит часы бесплодной возни не с тем узлом.

Что из этого следует держать в голове

Аналого-цифровой преобразователь описывает сигнал дискретными ступеньками, и слабый сигнал, шевелящий лишь младшие разряды, передаётся грубо, а его ошибка квантования собирается в заметные паразитные составляющие. Разрядность задаёт высоту ступеньки и потолок динамического диапазона, но реальную чистоту слабого сигнала определяют ещё собственные шумы, паразитные составляющие, выигрыш обработки и наличие дизера.

Понимание этого меняет подход к приёму слабых сигналов в цифровом тракте. Гнаться только за числом разрядов недостаточно, важны низкие паразитные составляющие, узкополосная фильтрация, собирающая выигрыш обработки, и правильный уровень шума, разрывающий корреляцию ошибки квантования. Хороший цифровой приёмник узнаётся не по красивой цифре разрядности в паспорте, а по тому, насколько чисто он вытаскивает слабую станцию из эфира, превращая грубые ступеньки квантования в плавный сигнал.